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Formules nombres complexes


Dans le repère hortonormal (O;u;v) le point M(x,y), où (x,y) ∈ ℝ2, a pour affixe z.

Repère hortonormal nombre complexe


z a pour forme algébrique x+iy.
Partie réelle de z : Re(z)=x
Partie imaginaire de z : Im(z)=y
Conjugué de z : z̄=x-iy
Module de z :
$$|z| = \sqrt{zz̄} = \sqrt{x^2+y^2}$$



si z ≠ 0,
z a pour forme trigonométrique : z = ρ(cosθ + isinθ)
z a pour forme exponentielle : z = ρe
Module de z : |z| = ρ
Argument de z : arg z = θ[2π]
Conjugué de z : z = ρe-iθ


Propriétés des modules
Pour tout z ∈ ℂ, |z̄| = |z|
Pour tout z ∈ ℂ* ,
$$|1/z| = 1/|z|$$
Pour tout z ∈ ℂ et z' ∈ ℂ, |zz'| = |z||z'|






Si A et B ont pour affixes respectives zA et zB alors   
$$\overrightarrow{AB}$$
   a pour affixe zB - zA et AB = |zB - zA|



Propriétés des arguments
Pour tout z ∈ ℂ* et z' ∈ ℂ* ,
arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2π]
arg(zz') = arg(z) - arg(z') [2π]



Caractérisation complexe de transformations
$$M(z) \rightarrow M'(z')$$
Translation de vecteur  
$$\overrightarrow{u}$$
  d'affixe t, t ∈ ℂ : z' = z + t
Homotéthie de centre Ω d'affixe ω, ω ∈ ℂ et de rapport k ∈ ℝ* : z' - ω = k(z - ω)
Rotation de centre Ω d'affixe ω, ω ∈ ℂ, et d'angle de mesure θ ∈ ℝ : z' - ω = e(z - ω)







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