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Formules mathématiques de probabilités


A - Généralités
Si les événements A et B sont incompatibles alors : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Dans le cas général : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(Ā) = 1 - P(A)              P(Ω) = 1              P(∅) = 0





Si A1,..., An forment une partition de A,
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})$$



Dans le cas de l'équiprobabilité,
$$P(A)=\frac{Nombre\hspace{2mm}d'éléments\hspace{2mm}de\hspace{2mm}A}{Nombre\hspace{2mm}d'éléments\hspace{2mm}de\hspace{2mm}Ω}$$



Probabilité conditionnelle de B sachant A
PA(B) est définie par P(A ∩ B) = PA(B) X P(A)
Cas où A et B sont indépendants P(A ∩ B) = P(A) X P(B)



Formule des probabilités totales
Si les événements B1, B2, ..., Bn Forment une partition de Ω alors P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bn)




B - Variable aléatoire
Espérance mathématique :
$$E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i x_i$$
Variance :
$$V(X) = \sum_{i=1}^{n}p_i (x_i - E(X))^2 = \sum_{i=1}^{n}p_i x_i ^2 - (E(X))^2 $$
Ecart-type :
$$σ_X=\sqrt{V(X)}$$





C - Combinaisons et formule du binôme
Pour tout n ∈ ℕ* et pour tout p ∈ ℕ , 0 ≤ p ≤ n :
$$n!= 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n$$

$$0!=1$$

$$ \left ( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right ) = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

$$ \left ( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} n \\ n-p \\ \end{array} \right ) $$

$$ \left ( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} n-1 \\ p-1 \\ \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n-1 \\ p \\ \end{array} \right ) $$




Le nombre de sous-ensembles à p éléments d'un ensemble à n éléments est égal à
$$ \left ( \begin{array}{c} n \\ p \\ \end{array} \right ) $$




Pour tout a ∈ ℂ, b ∈ ℂ et pour tout n ∈ ℕ*
$$(a+b)^n=a^n+ \left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right ) a^{n-1}b + ... + \left ( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right ) a^{n-k}b^k + ... + b^n $$








D - Lois de probabilité
Loi de bernouilli de p, p ∈ [0;1]
X peut prendre les valeurs 0 et 1 avec les probabilités
$$P(X=1)=p$$
et
$$P(X=0)=1-p$$
$$E(X)=p$$
$$V(X)=p(1-p)$$




Loi binomiale Β(n,p), n ∈ ℕ*, p ∈ [0;1]
X peut prendre les valeurs entières 0, 1, ..., n
Pour 0≤k≤n,
$$P(X=k)= \left ( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right )p^k(1-p)^{n-k} $$
$$E(X)=np$$
$$V(X)=np(1-p)$$




Loi uniforme sur [0;1]
J étant un intervalle inclus dans [0;1], P(J)=longueur de J



Loi exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞[, dite aussi loi de durée de vie sans veillissement
Pour 0≤a≤b,
$$P([a,b])=\int_{a}^{b} {λe^{-λi}dt}$$


Pour tout c≥0,
$$P([c,+∞[)=1-\int_{0}^{c} {λe^{-λt}dt}$$






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