Formules mathématiques de probabilités
A - Généralités
Si les événements A et B sont incompatibles alors : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Dans le cas général : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(Ā) = 1 - P(A) P(Ω) = 1 P(∅) = 0
Si A1,..., An forment une partition de A,
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})$$
Dans le cas de l'équiprobabilité,
$$P(A)=\frac{Nombre\hspace{2mm}d'éléments\hspace{2mm}de\hspace{2mm}A}{Nombre\hspace{2mm}d'éléments\hspace{2mm}de\hspace{2mm}Ω}$$
Probabilité conditionnelle de B sachant A
PA(B) est définie par P(A ∩ B) = PA(B) X P(A)
Cas où A et B sont indépendants P(A ∩ B) = P(A) X P(B)
Formule des probabilités totales
Si les événements B1, B2, ..., Bn Forment une partition de Ω alors P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bn)
B - Variable aléatoire
| Espérance mathématique : |
$$E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i x_i$$
|
| Variance : |
$$V(X) = \sum_{i=1}^{n}p_i (x_i - E(X))^2 = \sum_{i=1}^{n}p_i x_i ^2 - (E(X))^2 $$
|
| Ecart-type : |
$$σ_X=\sqrt{V(X)}$$ |
C - Combinaisons et formule du binôme
Pour tout n ∈ ℕ* et pour tout p ∈ ℕ , 0 ≤ p ≤ n :
$$n!= 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n$$
$$0!=1$$
$$ \left (
\begin{array}{c}
n \\
p \\
\end{array}
\right ) = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!} =
\frac{n!}{p!(n-p)!}$$
$$ \left (
\begin{array}{c}
n \\
p \\
\end{array}
\right )
=
\left (
\begin{array}{c}
n \\
n-p \\
\end{array}
\right )
$$
$$ \left (
\begin{array}{c}
n \\
p \\
\end{array}
\right )
=
\left (
\begin{array}{c}
n-1 \\
p-1 \\
\end{array}
\right )
+
\left (
\begin{array}{c}
n-1 \\
p \\
\end{array}
\right )
$$
| Le nombre de sous-ensembles à p éléments d'un ensemble à n éléments est égal à |
$$ \left (
\begin{array}{c}
n \\
p \\
\end{array}
\right )
$$
|
Pour tout a ∈ ℂ, b ∈ ℂ et pour tout n ∈ ℕ*
$$(a+b)^n=a^n+
\left (
\begin{array}{c}
n \\
1 \\
\end{array}
\right )
a^{n-1}b + ... +
\left (
\begin{array}{c}
n \\
k \\
\end{array}
\right )
a^{n-k}b^k + ... + b^n
$$
D - Lois de probabilité
Loi de bernouilli de p, p ∈ [0;1]X peut prendre les valeurs 0 et 1 avec les probabilités
|
$$P(X=1)=p$$
|
et |
$$P(X=0)=1-p$$
|
|
$$E(X)=p$$
|
$$V(X)=p(1-p)$$
|
Loi binomiale Β(n,p), n ∈ ℕ*, p ∈ [0;1]
X peut prendre les valeurs entières 0, 1, ..., n
Pour 0≤k≤n,
$$P(X=k)=
\left (
\begin{array}{c}
n \\
k \\
\end{array}
\right )p^k(1-p)^{n-k}
$$
$$E(X)=np$$
$$V(X)=np(1-p)$$
Loi uniforme sur [0;1]
J étant un intervalle inclus dans [0;1], P(J)=longueur de J
Loi exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞[, dite aussi loi de durée de vie sans veillissement
Pour 0≤a≤b,
$$P([a,b])=\int_{a}^{b} {λe^{-λi}dt}$$
Pour tout c≥0,
$$P([c,+∞[)=1-\int_{0}^{c} {λe^{-λt}dt}$$
